Четные и нечетные функции

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

D(f)=(-infty ; +infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 cdot (-x)^<3>-7 cdot (-x)^<7>= -3x^<3>+7x^<7>= -(3x^<3>-7x^<7>)= -f(x) .

Значит, функция f(x)=3x^<3>-7x^ <7>является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T neq 0 .

Статья в тему: Как делать молочный коктейль и фруктовый. Молочный коктейль с мороженым рецепт в домашних условиях

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_<1>; x_<2>) cup (x_<3>; +infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) на (-infty; x_ <1>) cup (x_<2>; x_ <3>)

4. Дополнение. Задачи с параметром

Чётность функций редко встречается сама по себе. Прежде всего это инструмент для решения сложных задач.

Известно, что $fleft( x right)=<^<8>>+a<^<4>>+1$ и $fleft( 2 right)=353$. Найдите $fleft( -2 right)$ и значение параметра $a$.

Решение. Очевидно, что функция $fleft( x right)$ чётная:

Следовательно можем найти $fleft( -2 right)$:

[fleft( -2 right)=fleft( 2 right)=353]

Кроме того, подставим $x=2$ и $fleft( 2 right)=353$ в формулу, задающую функцию:

Задача решена. Ответы:

И ещё одна задача. Попробуйте решить её самостоятельно:

Известно, что $fleft( x right)=frac<6075><<^<5>>+k<^<3>>>$ и $fleft( 3 right)=15$. Найдите $fleft( -3 right)$ и значение параметра $k$.

Решение. Функция чётная при любом $kin mathbb$ (докажите это!), поэтому

[fleft( -3 right)=-fleft( 3 right)=-15]

Поскольку $fleft( 3 right)=15$, имеем:

А чтобы действительно разобраться с чётностью, обязательно изучите ещё две темы:

Сдвиги графиков вдоль осей;
Графики функций с модулем.

После этого половина задач с параметром перестанет казаться вам сложными.:)

голоса

Рейтинг статьи