0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Исследование функции и построение графика

Исследование функции и построение графика

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

  • Общая схема исследования
  • Полный пример исследования функции
  • Примеры решений для разных типов функций
  • Сервисы построения графиков онлайн
  • Теория и практика: ссылки
  • Решебник
  • Видео

Презентация. Графики функций, производных функций. Исследование функции.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Подготовка к ЕГЭ по математике Графики функции, производных функции, исследование функции.

Для решения данной группы задач необходимо знать: таблицу производных и правила дифференцирования геометрический смысл производной свойства производной для исследования функций физический (механический) смысл производной

Геометрический смысл производной. Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид y=kx+b.

Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной. По свойству тангенса: при 0 6 слайд

Задания на применение геометрического смысла производной

Статья в тему:  Ермак открыл сибирь. Ермак: Сибирь и её покорение

Физический (механический) смысл производной. Пусть задан закон движения материальной точки x(t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время. Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. V(t)=x‘(t)

Физический (механический) смысл производной. Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Задания на применение физического смысла производной.

Свойства производной для исследования функций Если значение производной в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение(0 11 слайд

Свойства производной для исследования функций Вышеизложенные свойства необходимы для исследования поведения функции на возрастание и убывание.

Свойства производной для исследования функций Точки, в которых функция меняет своё поведение с возрастания на убывание (и наоборот, с убывания на возрастание), называются экстремумами. Их ещё называют точками максимума (минимума) функции. Производная в этих точках равна нулю. Касательные в этих точках параллельны оси ox.

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график функции? Можем определить интервалы возрастания (убывания) функции, знак производной на этом интервале.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (-6;8) . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции положительна?

Статья в тему:  Бывший муж яны рудковской выходит на свободу. Муж яны рудковской Муж экс золовки яны рудковской 6 букв

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график функции? 2. Можем определить точки максимума (минимума) функции (если задан масштаб), их количество.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (-2;12) . Найдите сумму точек экстремума функции .

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график функции? 4.Можем определить количество точек, в которых производная равна нулю.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (-5;5) . Найдите количество точек, в которых производная функции y=f(x) равна 0.

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график функции? 5. Количество касательных к графику функции, параллельных оси ox . 6. Количество касательных, параллельных какой-либо данной прямой.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (-5;5). . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график функции? 7. Значение производной функции в некоторой точке, если даны две точки, через которые проходит касательная.

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график функции? 8. В какой из точек графика функции значение производной наименьшее (наибольшее).

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Статья в тему:  Компания зарекомендовала себя как надежный партнер. Рекомендательное письмо: образец для компании

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график производной функции? 1. Можем определить интервалы, на которых функция возрастает (убывает).

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-5;7) . Найдите промежутки убывания функции y=f(x) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-11;3) . Найдите промежутки возрастания функции y=f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график производной функции? 2. Точки минимума (максимума) функции. 3. Количество точек минимума (максимума) функции. 4. Количество экстремумов функции.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-4;8) . Найдите точку экстремума функции на отрезке [-2;6]

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-18;6) . Найдите количество точек минимума функции на отрезке [-13;1] .

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-11;11) . Найдите количество точек экстремума функции y=f(x) на отрезке [-10;10] .

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график производной функции? 5. Можем определить точки, в которых функция приобретает максимальное (минимальное) значение на заданном интервале.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-8;4) . В какой точке отрезка [-7;-3] y=f(x) принимает наименьшее значение.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-8;3) . В какой точке отрезка [-3;-2] y=f(x) принимает наибольшее значение.

Статья в тему:  Поведенческие приспособления примеры. Адаптации организмов к условиям обитания. Предостерегающая или угрожающая окраска

Какие выводы мы можем сделать, когда дан график производной функции? 6. Можем найти абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. 7. Можем найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) , определенной на интервале (-10;2) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 889 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 306 человек из 67 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 668 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

  • Все материалы
  • Статьи
  • Научные работы
  • Видеоуроки
  • Презентации
  • Конспекты
  • Тесты
  • Рабочие программы
  • Другие методич. материалы

  • Ласковец Оксана АлександровнаНаписать 3297 24.03.2017

Номер материала: ДБ-288639

  • Алгебра
  • 11 класс
  • Презентации
    24.03.2017 1017
    24.03.2017 593
    24.03.2017 1209
    24.03.2017 271
    24.03.2017 230
    24.03.2017 546
    24.03.2017 564

Не нашли то что искали?

Статья в тему:  Самые известные преступники в мире. Самые молодые богатые преступники: кому закон не писан Братья Родригес Орехуэла

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Московские школьники победили на международной олимпиаде по информатике

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

АСИ организует конкурс лучших управленческих практик в сфере детского образования

Время чтения: 2 минуты

В российских школах могут появиться «службы примирения»

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Полный пример решения онлайн

Провести полное исследование и построить график функции $ y(x)=frac<1-x>. $

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $1-x=0, quad Rightarrow quad x=1.$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $ D(y)=(-infty; 1) cup (1;+infty). $

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x in (-infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x in (1; +infty)$ функция $ylt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x in (-infty; -2), (4;+infty)$ производная $y’ lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ — точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ — точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:



Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x in (-infty; 1)$ выполняется $y» gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x in (1;+infty)$ выполняется $y» lt 0$, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:


Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Предварительный просмотр:

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ЕГЭ

Пособие для учащихся

Исследование функций по графику производной

В данной статье рассматриваются задачи входящие в ЕГЭ по математике, в которых дан график производной функции (задание 7). В этих задачах ставятся следующие вопросы:

1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение.

2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции, принадлежащих заданному отрезку.

3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному отрезку.

4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.

5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать длину наибольшего из этих промежутков.

7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.

8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.

Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.

Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.

3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.

4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.

Многие путают график производной и график функции. Поэтому в таких зданиях, где дан график, сразу же нужно обратить своё внимание в условии на том, что дано: график функции или график производной функции?

Если это график производной функции, то рассматривать его нужно как бы «отражение» самой функции, которое просто даёт нам информацию об этой функции.

Рассмотрим алгоритм решения задания.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–2;21).

Ответим на следующие вопросы:

1 . В какой точке отрезка [7;15] функция f(х) принимает наибольшее значение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит, функция на этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 7.

2. В какой точке отрезка [3;6] функция f(х) принимает наименьшее значение.

По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном отрезке производная функции положительна, значит, функция на этом отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть в точке х = 3.

3. Найдите количество точек максимума функции f(х) , принадлежащих отрезку [0;20].

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется знак.

На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.

На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20) отрицательна.

Таким образом, на заданном отрезке [0;20] функция имеет две точки максимума х = 6 и х = 18.

4. Найдите количество точек минимума функции f(х) , принадлежащих отрезку [0;4].

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3) производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.

Таким образом, на отрезке [0;4] функция имеет только одну точку минимума х = 3.

. Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество точек, а не значение х, такую ошибку можно допустить из-за невнимательности.

5. Найдите количество точек экстремума функции f(х) , принадлежащих отрезку [0;20].

Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума (это и точки максимума и точки минимума).

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии графике это нули функции. Производная обращается в нуль

в точках 3, 6, 16, 18.

Таким образом, на отрезке [0;20] функция имеет 4 точки экстремума.

6. Найдите промежутки возрастания функции f(х) . В ответе укажите сумму целых точек , входящих в эти промежутки.

Промежутки возрастания данной функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18). Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки – границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26

7. Найдите промежутки убывания функции f(х) на заданном интервале. В ответе укажите сумму целых точек , входящих в эти промежутки.

Промежутки убывания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21).

Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:

( –1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

+ 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

. Необходимо обратить внимание в условии: включены ли границы в интервал или нет. Если границы будут включены, то и в рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также необходимо учитывать.

8. Найдите промежутки возрастания функции f(х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки возрастания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и (16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.

9. Найдите промежутки убывания функции f(х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки убывания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы

(–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.

Длина наибольшего интервала равна 10.

10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо найти количество точек, в которых у′(х 0 ) = 2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.

11. Найдите точку экстремума функции f(х) , принадлежащую отрезку [0;5].

Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке [0;5] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является точкой экстремума.

12. Найдите абсциссы точек , в которых касательные к графику у = f (x) параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите наибольшую из них.

Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.

Можно построить рассуждение таким образом:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это точки 3, 6, 16,18.

На рисунке изображен график у= f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f(х) принимает наименьшее значение.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f(х) , принадлежащих отрезку [–6;9].

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f(х) , принадлежащих отрезку [–13;1].

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума функции f(х) , принадлежащих отрезку [–10; –10].

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f(х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f(х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки убывания функции f(х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = –2х – 11 или совпадает с ней.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) , определенной на интервале (–4;8). Найдите точку экстремума функции f(х) , принадлежащую отрезку [–2;6].

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у =f(х) параллельна прямой

у = 2х – 2 или совпадает с ней.

На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику

у = f(х) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector