1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Угол между пересекающимися прямыми: определение, примеры нахождения

Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.

Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.

Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.

Допустим, нам известно, что один из углов равен α . В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α . Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180 ° — α . Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).

Взгляните на рисунок:

Перейдем к формулированию основного определения.

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4 -х углов, которые образуют две эти прямые.

Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале ( 0 , 90 ] . Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.

Статья в тему:  Самые длинные водоросли и всё о них. Самые длинные водоросли Самые редкие водоросли в мире

Общее уравнение для прямой на плоскости

Запишем в явном виде векторное уравнение прямой для двумерного случая. Оно имеет вид:

Теперь рассчитаем для каждого равенства параметр α и приравняем правые части полученных равенств:

Раскрывая скобки и перенося все члены в одну сторону равенства, получаем:

A*x + B*y + C = 0, где A = 1/a, B = -1/b, C = y0/b- x0/a

Полученное выражение называется общим уравнением для прямой, заданной в двумерном пространстве (в трехмерном это уравнение соответствует параллельной оси z плоскости, а не прямой).

Если в этом выражении явно записать y через x, то получится следующий вид, известный каждому школьнику:

y = k*x + p, где k = -A/B, p = -C/B

Это линейное уравнение однозначно задает на плоскости прямую. Начертить ее по известному уравнению очень просто, для этого следует по очереди положить x = 0 и y = 0, отметить соответствующие точки в системе координат и провести прямую, соединив полученные точки.

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Угол между прямыми»

· рассмотрим углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми в пространстве.

Напомню, что два луча ОА и O1A1 в пространстве, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОO1. Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.

Статья в тему:  Пингвин с бровями как называется. Хохлатый пингвин. Описание и особенности

Как вы уже знаете, любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла.

Определение. Если пересекающиеся прямые образуют тупые и острые углы, то углом между этими прямыми называется тот, который не превосходит любой из трех остальных углов, т.е. наименьший из углов.

Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен девяносто градусов.

Пусть α – тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α. Очевидно, что угол альфа между двумя пересекающимися прямыми удовлетворяет условию: .

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые а и b. Возьмем произвольную точку М1 в пространстве и проведем через нее прямые A1B1, параллельные прямым а и b соответственно.

Тогда углом между скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми A1B1. Т. е. если угол между прямыми A1B1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми а и b равен φ.

Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М1.

Возьмем любую другую точку М2 и проведем через нее прямые a2 и b2, параллельные прямым а и b соответственно. Пусть угол между прямыми a1 и b1 равен α1, а угол между прямыми a2 и b2 равен α2.

Статья в тему:  Морской ерш скорпена. Черноморская скорпена. Всё о страшном ерше. Противопоказания: осторожно, ядовитая скорпена

Если прямые a1, b1, a2, b2 лежат в одной плоскости, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых угол α1 равен углу φ и равен углу α2.

Пусть теперь прямые a1 и b1, пересекающиеся в точке М1, лежат в одной плоскости. А прямые a2 и b2, пересекающиеся в точке М2 лежат в другой плоскости.

Так как прямая a1 параллельна прямой а и прямая a2 параллельна прямой а, то по признаку параллельности прямых в пространстве прямые a1 и a2 также параллельны. Так как прямая b1 параллельна прямой b и прямая b2 параллельна прямой b, то по признаку параллельности прямых в пространстве прямые b1 и b2 параллельны.

Отметим на прямых a1 и a2 точки A1 и A2 так, чтобы отрезки М1А1 и М2А2 были равны. На прямых b1 и b2 отметим точки B1 и B2 так, чтобы отрезки M1B1и M2B2 были равны.

Тогда стороны угла A1M1B1 и угла A2M2B2 попарно сонаправлены. По теореме о равенстве углов с сонаправленными сторонами получаем, что угол A1M1B1 равен углу A2M2B2. Т. е. имеем, что угол α1 равен углу α2.

Таким образом, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M1.

Замечание. Угол между параллельными прямыми в пространстве считается равным 0º.

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть треугольная пирамида DABC. На ее ребре DB взята точка Т.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми BC и АТ равен углу между прямой АТ и прямой TF, которая проходит через точку Т параллельно прямой BC в плоскости BDC.

Статья в тему:  Снежный чел. Кто такой снежный человек. Снежный человек в литературе

Рассмотрим еще пример. Пусть есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1. И пусть точка О – точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, а точка F – точка пересечения диагоналей грани AA1B1B.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми C1D и OF равен углу между прямыми OF и прямой OK, проходящей через точку О и параллельной прямой C1D в плоскости C1DA1.

Задача. Дана правильная пирамида . – средняя линия грани . Найдите угол между прямыми и .

Запишем ответ: 90º

Задача. Дан куб . Найдите угол между прямыми и .

Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми. А также решили несколько задач на нахождение скрещивающихся углов.

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector