0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Объем призмы и другие ее характеристики

Содержание

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
( displaystyle V=S<< >_<основания>>cdot text),
где ( <>_<основания>>) – площадь основания,
( H) – высота.

Необычная формула объема призмы:
( text=<>_>cdot l),
где ( <>_>) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

А теперь чуть подробнее…

Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
  • А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

ЕГЭ2022 (математика профиль) в ВК

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Определение. Призма — это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A1 B1C1D1E1).

Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы.

Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA1, BB1, CC1, DD1, EE1).

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD1).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы.

Обозначение: ABCDE A1 B1C1D1E1. (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке — вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом — с индексом)

Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой. Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник (2 грани — основания призмы, 5 граней — параллелограммы, — ее боковые грани)

Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.

Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.

У правильной призмы все боковые грани равные прямоугольники.

Частным случаем призмы является параллелепипед.

Параллелепипед

Параллелепипед — это четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (наклонный параллелепипед).

Прямой параллелепипед — параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.

Прямоугольный параллелепипед — прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник .

Свойства и теоремы:

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.

Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называются кубом.

У куба все грани равные квадраты.

Квадрат диагонали, равен сумме квадратов трех его измерений

,

где d — диагональ квадрата;
a — сторона квадрата.

Представление о призме дают:

  • различные архитектурные сооружения;
  • детские игрушки;
  • упаковочные коробки;
  • дизайнерские предметы и т.д.

Площадь полной и боковой поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней

Площадь боковой поверхности называется сумма площадей ее боковых граней

Т.к. основания призмы — равные многоугольник, то их площади равны. Поэтому

где Sполн— площадь полной поверхности,

Sбок -площадь боковой поверхности,

Sосн — площадь основания

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

где Sбок -площадь боковой поверхности прямой призмы,

Pосн — периметр основания прямой призмы,

h — высота прямой призмы, равная боковому ребру.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

V = S*h,

где V — объем призмы ,
S — площадь основания призмы,
h — высота призмы.

Варианты сечения призмы

  1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через диагональ основания призмы и два соответствующих боковых ребра.Примечание: У треугольной призмы нет диагонального сечения, т.к. основанием фигуры является треугольник, у которого нет диагоналей.
  2. Перпендикулярное сечение – секущая плоскость пересекает все боковые ребра под прямым углом.

Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Призма»

Мы уже знакомились с призмами. Сегодня мы повторим основные понятия, которые связаны с ними.

Давайте вспомним, какой многогранник мы назвали призмой.

Рассмотрим два равных многоугольника A1A2…An и B1B2…Bn, расположенные в параллельных плоскостях. Причем расположены эти многоугольники так, чтобы равные стороны этих многоугольников, т.е. A1A2 и B1B2, A2A3 и B2B3 … AnA1 и BnB1, были параллельными.

Указанные четырехугольники являются параллелограммами. Рассмотрим например, четырехугольник A1B1B2A2. Его противоположные стороны A1A2 и B1B2 равны и параллельны по построению. Следовательно, и стороны A1B1 и A2B2 тоже равны и параллельны. Напомню, что четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Значит, рассматриваемый нами четырехугольник A1B1B2A2 – параллелограмм.

Равные n-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B1A3, называется диагональю призмы.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то призма называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной призмой. А если n-угольник, то n-угольной призмой.

Теперь узнаем, что называют высотой призмы. Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую ее в точке B. Отрезок, AB называется высотой призмы.

В зависимости от того перпендикулярны ли ребра основанию, призмы можно подразделить на прямые и наклонные.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой. Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной. На рисунке изображены примеры прямой и наклонной призм.

Обратите внимание, у прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками, а у наклонной призмы – параллелограммы.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Тогда площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Это все нам известно с курса геометрии базовой школы.

Сегодня мы выведем новую формулу для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Сформулируем и докажем теорему. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Выше мы уже вспоминали, что все боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Основания этих прямоугольников – стороны основания призмы. А высоты этих прямоугольников равны высоте призмы. Мы знаем, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей каждой из боковых граней, то есть в случае прямой призмы это будет сумма произведений сторон основания на высоту призмы.

Вынесем множитель р за скобки, тогда в скобках получим сумму сторон основания призмы, другими словами – в скобках мы получим периметр основания.

Тогда можно записать, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты на периметр основания.

Решим несколько задач.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями, которые равны и . Высота призмы равна . Найти площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно .

Поскольку призма прямая, то воспользуемся только что доказанной формулой.

Решим еще одну задачу.

Задача. В правильной треугольной призме сторона основания равна , а высота призмы равна . Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы.

Поскольку по условию призма правильная, значит, она прямая. Применим только что доказанную формулу.

Запишем формулу для вычисления площади полной поверхности призмы.

Ответ. 450 см 2 , см 2

Решим еще одну задачу.

Задача. Доказать, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

В качестве примера, мы возьмем треугольную призму, для других призм это утверждение доказывается аналогично.

Перпендикулярным сечением называется пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Для построения перпендикулярного сечения выберем, например, на ребре BB1 произвольно точку К. В плоскости грани AA1B1B через точку К проведем прямую KL перпендикулярную к ребру BB1. Эта прямая будет перпендикулярна к ребру AA1, поскольку ребра AA1 и BB1 параллельны.

Теперь через точку К в плоскости грани BB1C1C проведем прямую КМ перпендикулярную ребру BB1. Тогда из того, что BB1 перпендикулярно пересекающимся прямым KL и КМ плоскости KLM следует, что BB1 перпендикулярно плоскости KLM.

То есть построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. А значит, это и есть перпендикулярное сечение призмы.

Тогда надо доказать, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметру треугольника KLM и бокового ребра BB1.

Любая боковая грань призмы – это параллелограмм. Рассмотрим грань ABB1A1. КL – это высота параллелограмма ABB1A1. Поэтому для нахождения площади этой грани можно применить формулу:

В качестве основания мы берем сторону BB1, так как высота проводилась к этой стороне.

Аналогично можно записать:

Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности. Заменим площадь каждой грани полученной формулой.

Решим еще одну задачу.

Задача. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно . Перпендикулярным сечением является ромб со стороной . Найти площадь боковой поверхности.

Воспользуемся только что доказанным утверждением.

Решим еще одну задачу.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями , и высотой . Найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Для определения двугранных углов, нам необходимо найти соответствующие линейные углы.

Подведем итоги урока.

Сегодня на уроке мы вспомнили, какая фигура называется призмой, основные элементы призмы. Виды призм. Вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой и наклонных призм. Решили несколько конкретных задач.

Статья в тему:  Частые вопросы. Описание, ареал, питание, размножение, спячка и поведение бурого медведя Популяция и распространение

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector