0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Приложение А

Приложение А. Погрешности вычислений

Точность полученного в результате вычисления результата определяется погрешностью вычислений. Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения:

(А.1)

где а – приближенное значение числа х.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа:

(А.2)

Истинное значение величины х обычно неизвестно. Имеется лишь приближенное значение а и нужно найти его предельную погрешность . В дальнейшем значение принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а. Тогда истинное значение х находится в интервале .

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Статья в тему:  Где по географии. Описание. ГДЗ для младшей школы бесплатно без регистрации

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде , число в виде Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Статья в тему:  Прикольные конкурсы с шарами. Детские развивающие игры, уроки, поделки

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись

3. Если

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25*10 3 — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

Статья в тему:  Чем прославился аввакум. Краткая биография протопопа аввкума. Учения Протопопа Аввакума

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (омега) приближённости х величины называется отношением абсолютной погрешности этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть

Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:

Число называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле:

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа

Решение: Имеем

Следовательно

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что .

Решение:

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — исходные данные; пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Статья в тему:  Перфекционизм: преодолеваем комплекс отличника. Синдром отличника: что это и как с ним бороться

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

Статья в тему:  Гадание на суженого — за кого вы выйдете замуж? Гадание на суженого во сне: способы, меры предосторожности

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Погрешность и точность приближения»

При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины.

Статья в тему:  Лучшие диеты для быстрого похудения в домашних условиях. Жёсткая диета: как быстро похудеть

Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближёнными значениями измеряемой величины.

У каждого из вас есть линейка и карандаш. Давайте попытаемся измерить длину карандаша.

Из рисунка видно, что длина карандаша чуть меньше 10 см. Если бы на этой линейке не было миллиметровых делений, то мы бы сказали, что длина карандаша равна 10 см. Но это было бы не совсем точное измерение.

Такую неточность называют погрешностью измерения.

В нашем случае, на линейке есть миллиметровые деления, поэтому мы можем измерить длину карандаша с более высокой точностью – 9,8 см.

Приближённое значение отличается от точного значения в этом случае на 0,2 см. Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Определение:

Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.

Значение абсолютной погрешности не всегда можно найти. Но обычно известна её оценка сверху – например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 сантиметра, а при взвешивании на весах с гирями 100 грамм, 200 грамм, 500 грамм и 1 килограмм абсолютная погрешность взвешивания не превышает ста грамм.

Посмотрите, на слайде изображён отрезок CD.

Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см. Понятно, что 7 см – это приближённое значение длины отрезка CD с недостатком, а 8 см – это приближённое значение длины отрезка CD с избытком.

Статья в тему:  Возможно ли развить голос. При правильном мычании должны чесаться губы. Что поможет при проблемах с голосом

Если истинную длину отрезка обозначить за х, то получим, что длина отрезка CD удовлетворяет неравенству:

Пусть истинное значение измеряемой величины равно .

Измерение дало результат .

Тогда разность – это абсолютная погрешность измерения.

Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:

Принято писать

Точность приближённого значения зависит от многих причин. Если приближённое значение получено в процессе измерения, то, конечно же, его точность будет зависеть от прибора, с помощью которого выполнялось это измерение.

Вот, например, комнатный термометр. На нём деления нанесены через один градус. Это даёт возможность измерять температуру воздуха с точностью до 1 градуса. А на весах, у которых цена деления шкалы 20 г, можно взвешивать с точностью до 20 г. Или, к примеру, ещё, механические часы. Цена одного деления, которых 1 мин. По ним можно сказать время с точностью до 1 минуты.

Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения.

Определение:

Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.

Относительную погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна лишь его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.

Например: при измерении (в сантиметрах) длины книжной полки и толщины компакт-диска получили следующие результаты:

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

Статья в тему:  Как изменить стандартный шрифт в word. Изменяем шрифт в Microsoft Word

Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector