0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Геометрические фигуры

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Что значит пирамида треугольная правильная?

В стереометрии можно встретить следующее определение пирамиды: это пространственная фигура, которая состоит из двух видов граней — треугольников и одного многоугольника. Последний называется «основанием», а треугольники составляют боковую поверхность, поэтому именуются «боковыми гранями». Одна из вершин всех треугольников пересекается в одной точке, которая называется «вершиной пирамиды».

Правильная треугольная пирамида — это фигура класса многогранников, которая имеет в основании равносторонний треугольник. Если опустить из вершины ее перпендикулярный отрезок к основанию, то он пересечет его в геометрическом центре, то есть в точке пересечения медиан равностороннего треугольника. Пример этой фигуры показан ниже на рисунке.

Статья в тему:  Японские мыши размножение. Подвид: M. m. molossinus = Японская карликовая мышь. Как выбрать японскую карликовую мышь

Когда учитель в школе просит: «Перечислите свойства пирамиды треугольной правильной», то следует сказать, что изучаемая фигура образована четырьмя гранями и четырьмя вершинами. Боковые ее грани в общем случае представляют равносторонние (равные между собой) треугольники. Фигура имеет шесть ребер: три основания и три одинаковых боковых.

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Усеченная пирамида»

На прошлых уроках мы работали с пирамидами. Давайте вспомним, какой многогранник называется пирамидой, что такое правильная пирамида, вспомним свойства правильной пирамиды.

Многогранник, составленный из -угольника и треугольников, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Пусть нам дана пирамида PA1A2…An. Проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает боковые ребра в точках B1,B2,…, Bn.

Плоскость β разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду PB1B2…Bn и многогранник. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn, расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2,…, AnA1B1Bn называется усеченной пирамидой.

Вокруг нас много примеров усеченных пирамид. Вытяжка над кухонной плитой имеет форму усеченной пирамиды.клавиши клавиатуры и другие предметы.

Статья в тему:  Отхаркивающие травы для выведения мокроты. Отхаркивающие травы от кашля взрослым. Травы, выводящие мокроту

Отрезки A1B1,…, AnBn называются боковыми рёбрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду обозначают так A1A2…AnB1B2…Bn. Возьмем на верхнем основании произвольную точку C и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее основание. Этот перпендикуляр называется высотой усеченной пирамиды.

Теперь давайте докажем, что боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции.

Для доказательства рассмотрим грань A1A2B2B1. Понятно, что для других боковых граней доказательство будет проводится аналогично.

Поскольку секущая плоскость проводилась параллельно плоскости основания, то можно записать, что A1A2 параллельно B1B2. Очевидно, что две другие стороны четырехугольника A1A2B2B1 не параллельны (они пересекаются в точке P). Получаем, что этот четырехугольник – трапеция. Очевидно, что все остальные боковые грани тоже будут трапециями.

Как и в случае с пирамидой, усеченная пирамида тоже может быть правильной.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями усеченной пирамиды являются правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций называются апофемами.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью усеченной пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью усеченной пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Теперь давайте сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему.

Статья в тему:  Решение простейших тригонометрических уравнений. Синус, косинус, тангенс: что такое? Как найти синус, косинус и тангенс

Запишем формулу для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Поскольку усеченная пирамида правильная, значит, ее гранями будут равнобедренные трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота боковой грани есть ничто иное как апофема усеченной пирамиды.

Подставим все в исходную формулу, вынесем половину апофемы за скобки, а в скобках сгруппируем стороны по основаниям. Тогда получим, что площадь боковой поверхности будет равна произведению полусуммы периметров оснований усеченной пирамиды на апофему.

Что и требовалось доказать.

Решим несколько задач.

Задача. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны и . Высота пирамиды равна . Найти площадь боковой поверхности.

Решим еще одну задачу.

Задача. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Доказать что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Что и требовалось доказать.

Решим еще одну задачу.

Задача. Правильная треугольная пирамида с высотой и стороной основания равной рассечена плоскостью , проходящей через середину высоты параллельно основанию . Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Ответ. 135 см 2 .

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы познакомились с такими понятиями как усеченная пирамида, правильная усеченная пирамида. Рассмотрели свойства правильной усеченной пирамиды. Решили несколько задач.

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector